第三讲 求代数式的值　用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．
　　例1 求下列代数式的值：
　

　　分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．
　　
　　　　　　　　=0-4a3b2-a2b-5
　　　　　　　　=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
　　　　　　　　=-16 2-5=-19．
　　(2)原式=3x2y-xyz (2xyz-x2z) 4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]
　　　　　 =3x2y-xyz 2xyz-x2z 4x2z-3x2y (xyz-5x2z)
　　　　 　=(3x2y-3x2y) (-xyz 2xyz xyz) (-x2z 4x2z-5x2z)
　　　　　 =2xyz-2x2z
　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
　　　　 　=12 6=18．
　　说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．
　　例2 已知a-b=-1，求a3 3ab-b3的值．
　　分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简
　　a3 3ab-b3=(b-1)3 3(b-1)b-b3
　 　　　 　=b3-3b2 3b-1 3b2-3b-b3
　 　　　 　=-1．
　　说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．
　　解法2 因为a-b=-1，所以
　　 原式=(a3-b3) 3ab=(a-b)(a2 ab b2) 3ab
　　　　=-1×(a2 ab b2) 3ab=-a2-ab-b2 3ab
　　　　=-(a2-2ab b2)=-(a-b)2
　　　　=-(-1)2=-1．
　　说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
　　原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
　　　　 =a3-3a2b 3ab2-b3=(a-b)3
　　　　 =(-1)3=-1．
　　说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．
　　解法4 因为a-b=-1，所以
(a-b)3=(-1)3=1，
　　即 a3 3ab2-3a2b-b3=-1，
a3-b3-3ab(a-b)=-1，
　　所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，
　　即 a3-b3 3ab=-1．
　　说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．
　　解法 5
　　a3 3ab-b3=a3 3ab2-3a2b-b3-3ab2 3a2b 3ab
　　　　　　=(a-b)3 3ab(a-b) 3ab
　　　　　　=(-1)3 3ab(-1) 3ab
　　　　　　=-1．
　　说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a b)2=a2 2ab b2；
(a-b)2=a2-2ab b2；
(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3；
(a-b)3=a3-3a2b 3ab2-b3 ；
a3 b3=(a b)(a2-ab b2)；
a3-b3=(a-b)(a2 ab b2)．
　　
　　解 由已知，xy=2(x y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以

　　　　　　　　
　　　　
　　解 因为a=3b，所以
c=5a=5×(3b)=15b．
　　将a，c代入所求代数式，化简得

　
　　
　　　
　　解 因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有

　
　　　　
　　由(2)得y 1=3，所以y=2．
　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．
　　　
　　　
　　　　=x2y 5m2x 10xy2
　　　　=52×2 0 10×5×22=250
　　例6 如果4a-3b=7，并且3a 2b=19，求14a-2b的值．
　　分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．
　　解 14a-2b=2(7a-b)
　　 　　　 =2[(4a 3a) (-3b 2b)]
　　　　　　=2[(4a-3b) (3a 2b)]
　　　　　　=2(7 19)=52．
　　
　　｜x｜ ｜x-1｜ ｜x-2｜ ｜x-3｜ ｜x-4｜ ｜x-5｜的值．
　　分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，

据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．
　　
　　原式=x (x-1) (x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
　　　　 =-1-2 3 4 5=9．
　　说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．
　　例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y z=18，那么x 2y-z的值是多少？
　　分析 x:y:z=3:4:7可以写成


的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．
　　
x=3k，y=4k，z=7k．
　　因为
2x-y z=18，
　　所以
2×3k-4k 7k=18，
　　所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以
x 2y-z=6 16-14=8．
　　例9 已知x=y=11，求
(xy-1)2 (x y-2)(x y-2xy)的值．
　　分析 本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．
　　解 设x y=m，xy=n．
　　原式=(n-1)2 (m-2)(m-2n)
　　　 　=(n-1)2 m2-2m-2mn 4n
　　　 　=n2-2n 1 4n-2m-2mn m2
　　　 　=(n 1)2-2m(n 1) m2
　　　 　=(n 1-m)2
　　　 　=(11×11 1-22)2
　　　 　=(121 1-22)2
　　　 　=1002=10000．
　　说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．

练习三

　　1．求下列代数式的值：
　　 (1)a4 3ab-6a2b2-3ab2 4ab 6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；
　
的值．  
　　
　　3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式
｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜　　的值．
　　4．已知(a 1)2-(3a2 4ab 4b2 2)=0，求 a，b的值．
　　5．已知