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续
∵2，3，5，7是质数
∴93－4＝89
即不超过120的合数共有89个。
四、 有限集合子集的个数
问题：
(1) 集合{a}一共有几个子集？
(2) 集合{a，b}一共有几个子集？
(3) 集合{a,b,c}一共有几个子集？
(4) 集合{a,b,c,d}一共有几个子集？
(5) 猜想集合{a1,a2…，an}一共有几个子集？
(6) 利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数：
{1,2}M{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。
以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。
有限集合{a}的子集有：φ，{a}；共两个
有限集合{a,b}的子集有：φ，{a}，{b}，{a,b}；共4＝22个；
有限集合{a,b,c}的子集有：φ；{a}，{b}，{c}；{a,b}，{a,c}，{b,c}；{a,b,c}；8＝23个；
有限集合{a,b,c,d}的子集有：φ；{a}，{b}，{c}，{d}；{a,b}，{a,c}， {a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}；{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}； {a,b,c,d}；共16＝24个。这里，{a,b,c,d}的子集可以分成两部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；另一部分包括d，是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。
循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的规律，可以猜想有限集合{a1,a2…，an}的子集共有2n个，其中非空子集有2n－1个；真子集也有2n－1个，非空真子集有2n－1－1＝2n－2个。
利用上述猜想，问题(6)中集合M的个数应当有28＝256个。
例7．一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。
分析：两位数共有10,11，……,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，……,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。
解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。
说明：此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。可见，有限元素子集个数公式起了关键作用。
例8．设A＝{1,2，3，…，n}，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和
解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得
＝1×2n-1＋2×2n-1＋…＋n……2n-1
＝(1＋2＋…＋n)·2n-1
＝n(n+1)/2×2n-1
＝n(n+1)×2n-2
说明：这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙孔。
习题一
1、 化简集合
2、 设集合A＝{1，a,b},B={a,a2,ab},且A＝B，求实数a,b
3、 高一(1)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未参加数学小组的有15人。问高一(1)班共有学生几人？
4、 设非空集合A{1,2，3,4，5,6，7}，且当a∈A时必有8－a∈A，这样的A共有( )个。
5、 已知A＝{296的约数}，B＝{999}的约数，则card(A∩B)＝( )
6、 对于集合
A＝{X∣X＝3n,n=1,2,3,4}
B＝{X∣X＝3k,k=1,2,3}
若有集合M满足A∩BMA∪B，则这样的M有多少个？
参考答案
1． A＝{(11/13，－3/13)}，(列举法)或(描述法)
2． A=-1,b=0
3． 47个
4． 15个
5． 2，A∩B＝{1,37}
6． 共8个
易知A＝{3,6，9,12}B＝{3,9，27}，故
A∩B＝{3,9}，A∪B＝{3,6，9,12,27}，故M可以这样构造
问题归结为求N的个数，要即集合{6,12,27}的子集数，所以M有23＝8个。
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