一、三种关系
1、整体量＝各部分量的和
这是数学中最基本的关系，这一关系从小学数学到大学数学都是最重要的，小学老师们如果能从

小学一年级开始就培养学生这一意识，那么他们将来的数学一定不会差。
“整体量＝各部分量的和”的变式是“部分量＝整体量减去其他部分量”
2、整体量＝一份量×份数
“整体量＝一份量×份数”是“整体量＝各部分量的和”当各部分都相等时的特例，这是归一问

题的本质关系，在学习了乘法运算后就要有意培学生的这种意识。有两种变形，“一份量＝整体

量÷份数”, “份数＝整体量÷一份量”。
3、“部分量＝整体量×分率” 有两种变形，“整体量＝部分量÷分率”, “分率＝部分量÷整

体量”。
正是因为许多学生就是没有真正体会到这一关系，没有对这一关系变成自已意识中的一部分，才

使他们怕做应用题，才使他们对数学失去了兴趣的。虽然到了高年级大多数学生能够解相应的问

题，但是能从本质上理解的学生不多，因此必然要影响到初中高中剩至大学的学习，数学老师们

千万要加强这个意识的培养！
二、吃糖吃瓜子
从具体的、形象的、身边的东西为对象进行数学教学在哪个年级都是实用的，只要你对你所教的

数学知识有一个整体的把握怎么教都行，比如上面我提到的小学数学的三种关系就是小学数数的

灵魂一定要把握好。
例1、左手抓3粒糖，右手抓6粒糖，两手共抓几粒糖？
例2、两手共抓几13粒糖，知道了左手抓5粒糖，问右手抓几粒糖？
例3、平均1分钟吃4粒瓜子，则5分钟吃几粒？
例4、3分钟吃15粒瓜子，平均1分钟吃几粒瓜子？
例5、3分钟吃15粒瓜子，问5分钟能吃几粒瓜子？
例6、小明3分钟吃15粒瓜子，有一堆瓜子，小明吃5分钟后还剩下20粒。问这堆瓜子原来有几粒？
例7、小明3分钟能吃15粒瓜子，小红5分钟能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明与小同时吃了4分钟恰

好吃完，问这堆瓜子原来有几粒？
例8、小明3分钟能吃15粒瓜子，小红5分钟能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明与小同时吃了4分钟恰

好吃完，剩下的部分小明还吃了2分钟，问这堆瓜子原来有几粒？
例9、一堆瓜子共60粒，小明先吃掉其中的1/3，接着小红吃掉剩下的1/5，最后还剩几粒？
例10、一堆瓜子共60粒，小明5分钟先吃掉其中的1/3，接着小红4分钟吃掉剩下的1/5，最后还剩

下瓜子的由两人同时吃还要几分钟能吃完？
例11、一堆瓜子，小明5分钟先吃掉其中的1/3，接着小红4分钟吃掉剩下的1/5，最后还剩下32粒

瓜子，问(1) 这堆瓜子原来有几粒？(2) 小明与小红共同吃3分钟能吃几粒瓜子？
用这此学生最常见并且常吃的东西出应用题学生是容易理解的。学会了吃糖吃瓜子就可以学会算

术了，哪个年级都可以用吃糖吃瓜子出题。
三、鸡兔同笼
古老“鸡兔同笼”问题是小数数学中及好的问题从低年级到高年级可以如下出题：
学会了吃糖吃瓜子就可以学会算术了，哪个年级都可以用吃糖吃瓜子出题，古老“鸡兔同笼”问

题是小数数学中及好的问题从低年级到高年级可以如下出题：
例1、一个笼子里有鸡4头，兔5头，鸡与兔共有与几条腿？（小学一年级）
例2、鸡和兔在一个笼子内，笼内有兔4头，鸡与兔共有20条腿，问鸡有几头？（小学一年级）
例3、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有10头，其中鸡腿12条，求鸡和兔分别有几头？（小学二年

级）
例4、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有头3个，腿10条，求鸡和兔分别有几头？（小学二年级，

可用罗列的方法，直到找出正确的答案）
例4、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔子共有头10个，腿26条，求鸡和兔分别有几头？
（小学三年级）
解1、先用可罗列的方法，直到找出正确的答案。
解2、设笼子内是10头鸡，则只有20条腿，于是要把一些鸡换成兔子，变成9头鸡，1头兔，则有22

条腿，变成8头鸡，2头兔，则有24条腿，变成7头鸡，3头兔，则有26条腿，就找出正确的答案了

。
解3、在解2的基础上进行概括，一头鸡换一头兔多出2条腿，我们知道26条腿比20条腿多6条腿，

因此要把6÷2＝3头鸡换成3头兔子。本题也可先假设笼子内是10只兔子。
解4、让每头鸡去掉1条腿，每头兔去掉2条腿，则26条腿就只剩下了26÷2＝13条腿了，
再让这10头鸡兔每头都去掉1条腿，只剩下了13-10＝3条腿了，这恰好是3头兔子的腿，因此有3头

兔子，7头鸡
解5、请所有的兔子站起来，让所有的鸡都飞走，留下26-10×2＝6条腿
留下6条腿是兔子的，得到3只兔子，7只鸡。

练习、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有头100个，腿280只，求鸡和兔分别有几头？
在小学好好学过过鸡兔同笼的学生将来数学一定不差
上了初中可用方程解鸡兔同笼问题。
四、羊吃草问题：
例1、有一草地，假设每天都生长一样多的草，每只羊每天吃一样多的草。这片草地可供１０只羊

吃9０天，或者可以供2０只羊吃3０天．那么35只羊可以吃多少天？
解：设一只羊1天1份草
　　则１０只羊吃9０天吃900份草
　　2０只羊吃3０天吃600份草
　　900份草减去600份草＝300份草，就是60天草地自然长出的草，
　　由此可知，1天草地长出5份草，3０天长草150份，原来草地有450份草。1天草地长出5份草，

恰好够5头吃。而原来草地有450份草够30头羊吃15天。　　
答：35只羊可以吃15天.
例2、工厂的质量检验车间积压着部分产品待检,与此同时,流水线传送带按一定速度送来待检验产

品,如果打开一部质检机,需半个小时可使待检产品全部通过质量检验,同时打开两部质检机,只需1

0分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要,在5分钟内将待检产品全部通过质量检验,

此时最少要打开几部质检机?
　　解：设一部质检机1分钟检验1份产品
　　则半个小时可使检验30份产品
　　两部质检机,只需10分钟可使检验20份产品
　　相减得：10份产品，这是20分钟流水线传送带送来的新产品
　　所以，传送带1分钟送来新产品0.5份，积压着部分产品有30-0.5×30＝15（份）
　　5分钟之内要检验15+0.5×5＝17.5
　　因此要用质检机17.5÷5＝3.5（部）
　　答：至少要4部
五、容斥问题：
例1、在若干名歌舞演员中,有7人会唱歌,有6人会跳舞，有3人既会唱歌又跳舞，歌舞演员共有多

少名
　　解答：7+6＝13，但是3个既会唱歌又跳舞，被算了两次，因此
　　歌舞演员有13-3＝10（人）
　　
例2、 求不超过30的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
　　解：求不超过30的正整数中
　　2的倍数有2、4、6、…、30共15个
　　3的倍数有3、6、9、…、30共10个
　　既是2的倍数又3的倍数的（即6的倍数）有6、12、…、30共5个
　　因此答案是15+10-5＝20（个）
　　小结：
　　（1）一个群体由两部分组成，第一部分有a个元素，第二部分有b个元素，第一部分与第二部

分的公共部分有c个元素，那么这群体共有
　　有a+b-c个元素
　　（2），第一部分有a个元素，第二部分有b个元素，第三部分有c个元素，第一部分与第二部

分的公共部分有d个元素，第一部分与第三部分的公共部分有e个元素，第二部分与第三部分的公

共部分有f个元素，三部分的公共部分有g个元素，那么这群体共有有a+b+c-d-e-f+g个元素
　　上面的结论叫做容斥原理，有兴趣的老师与家长可以思考一个群体由4部分组成、5部分组成

、……、n部分组成的容斥原理
　　练习
1、 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科

在90以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？
2 、某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人

，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加了围棋和中国象棋比

赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11

人，其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人？
3、求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？

六、数数问题
　　例1、（数花生）有一堆花生，3个3个数剩1个，5个5个数剩2个，7个7个数剩2个，问这一堆

花生有几个？
　　解：第1步：从2个开始，2+7＝9，7个7个数剩2个，3个3个数剩0个，
　　第2步：9+7＝16，7个7个数剩2个，3个3个数剩1个。
　　第3步：16+3×7＝37，7个7个数剩2个，3个3个数剩1个，5个5个数剩2个
　　
　　因此所求的数是37
　　当然37+3×5×7＝37+105＝142也行
　　142+105＝247……都行
　　37符合要求的最小的自然数
　　（注意，如果37，用5个5个数不是剩2个，就把37再上21，直到符合条件为止）
练习：（韩信点兵）有一队士兵，3个1列剩1个，5个一列剩1个，7个一列剩2个，问这一一队士兵

一年多了，楼主一直没有继续吗？
感觉好像没完呀

年多了，楼主一直没有继续吗？
感觉好像没完呀

谢谢楼主分享，