转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
例题分析
  例1  解方程组
    分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为
     ，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
    解：设
    原方程组可化为
    解之，得     即
    解之，得      
  例2  若m、n、p同时满足下面二式： ，求 的取值范围。
    分析：直接利用已知条件中的两个等式得到 的取值范围不好下手，如果换个角度考虑 可变形为 ，令 ， ， ，则已知条件可转化为方程组 ，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。
    解：设 ，则
     
    由(1)、(2)可得
             (3)
              (4)
    此时，     (5)
     由(3)得
     ，由(4)得
     
     由(5)得
  例3  如图， 中，BC＝4， ，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， 面积最大？

    分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。
    解：设BP＝x， 的面积为y
    作 于H
    则
     
     
     
     
    化简得   
    配方得   
       即P为BC中点时， 的面积最大
    这时 的面积最大值为
  例4  已知二次函数 过点O(0，0)，A( )，B( )和C( )四点。
    (1)确定这个函数的解析式及m的值；
    (2)判断 的形状；
    (3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证 弧长为定值。
    分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。
    (2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定 的形状。
    (3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。
    解：(1) 的图象过点O(0，0)、A( )、B( )
         解得
     二次函数解析式为
     的图象过点
     
    (2)
         
     是等边三角形
    (3)设点M的坐标为(P，0)
     ⊙M与AC相切于T点
     ⊙M的半径为
    若⊙M与OA、OC分别交于 则
     
     
    由(1)、(2)知， 是方程 的两个根
    即 的两根为
     
         
         
     
     是等边三角形，
      的弧长为 （定值）
    说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定 的形状，从而确定 的度数，最后计算出 的弧长。
  例5  如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BE＝AE＝b，AB＝a。
    求证：(1)CD、CE的长是方程 的两个根；
          (2)求PB的长。

    分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。
    略解：(1)依题意，可证
    得CE＝AC
    由切割线定理，得 ，即
    又CD＝AB＝a
     
     的长是方程 的两个根
    (2)由相交弦定理，得
    即
    解得   （不合题意，舍去）
     
易错题分析
  例1. 四边形ABCD中， ，AC平分 ， ， ，求BC和AB的长。
    分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知 ，AC平分 ，所以想到由C点作 于E，作 于F。由已知 可求出CF，由 ，可知CE的长，通过解 可求出BC的长。BE也可求，再通过解 由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。
    解：作 于E， 于F
     
     
    在 中，
     
    在 中，
    由勾股定理，
     
   综上所述： 。

    点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知 ，想到作AD边上的高线，再由AC平分 想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。
  例2. 四边形ABCD中， ， ， ， ，求AB。
    分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。
    解：过D点作 的延长线于E，若 为钝角，作 延长线于F，（若 为锐角，作 于F，同理）
    在 中， ， ，
     ，
     
     四边形EBFD是矩形
     
     
    在 中，
     
     

    点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对 的讨论。 有可能是锐角、直角或钝角，但无论 是什么角，都不影响解题的结果。
  例3. 在四边形ABCD中， ， ， ，求CD的长。
    分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。
    解：若 是锐角，（ 是钝角或直角同理）过C点作 于F，过C点作 的延长线于E。
     
     
     四边形AECF是矩形
     
    在 中，
     
    在 中，
     

点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。

练习
一. 选择题：
1. 若x、y都是实数，且 ，则 的值是（    ）
    A. 12        B. －12        C.          D. 9
2. 设关于 的二次方程 的两根为 ，若 ，则 的值是（    ）
    A. 3        B. －1        C. 3或－1        D. －3
3. 如图，梯形ABCD中，AB//DC，AB＝a，BD＝b，CD＝c，且a、b、c使方程  有两个相等实数根，则 和 的关系是（    ）
    A.      B.      C.      D.  

4. 在关于x的一元二次方程 中，a、b、c是 的三条边， ，那么这个方程根的情况是（    ）
A. 没有实数根                B. 有两个相等的实数根            
C. 有实数根                D. 有两个不相等的实数根
5. 已知a、b、c是 三边的长，b>a＝c，且方程 两根的差的绝对值等于 ，则 中最大角的度数是（    ）
    A.          B.          C.          D.  
6. 已知a、b、c是 三条边长，关于x的方程 有两个相等的实数根，且 ，则 的值是（    ）
    A. 1        B.          C.          D.  
7. 若 是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程 根的情况是（    ）
A. 有两个相等的正根        B. 有两个不等的负根            
C. 有一正根和一个负根        D. 没有实数根
二. 填空题：
1. 在长方形内有1989个点，以这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成________个三角形。
2. 方程 在区间(－4，0)中有两个不相等实根，则m的取值范围是_______。
3. 在 中， ，D是BC中点， 于E， ，AE＝7，则DE的长为_______。
三. 解答题：
1. 解分式方程： .

2. 已知 为实数，证明： 。






3. 如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若 ， ，求四边形ABCD的周长和面积。






4. 已知：如图，在 中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且 ， ，求 。





5. 已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接AE交⊙O于F，求证：EF、FA的长是方程 的两根。


疑难解答
    A. 教师自己设计问题：
1. 怎样运用转化思想证明模拟试题中的解答题的第2小题？
2. 模拟试题中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形？
B. 对问题的解答：
1. 模拟试题中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以
设 ，则
，
，即 ，
为实数，
将上面方程看成 的一元二次方程时， ，   ，
。
2. 答： 和 都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于 中AC已知，且 ，若以AC为一边和以 为一内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。
    (1)如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G
      可证
     

    这是构成直角三角形的解法

(2)如图：以AC为一边， 为一内角，构成正三角形ACG

    作 的平分线交GA于F
    则                     
可证
                          




试题答案
一.
  1. B    2. C    3. A    4. D    5. B    6. D    7. A
二.
  1. 3980个    2.      3.  
三.
  1. 提示：原方程转化为
    即 ，令   解方程后检验
    知 是原方程的解
  2. 提示：可转化为一元二次方程根的判别式来证明
  3. 提示：连结OD、OC，作 于E，可得 ，四边形周长
  4. 提示：可以构造直角三角形或等边三角形来解，
  5. 提示：由勾股定理，得 ，由割线定理，得 ， ， ，将 代入方程左边 ，右边＝0， 是方程 的根，同理 也是方程 的根，\EF、FA是方程 的两根。

谢谢楼主分享
你已经是正式会员了 这样的主题可以发在相应的版区
帮你转走了 送花一朵

思路很好，但怎么没有图形和字母？能重发一回吗？

谢谢楼主提供，辛苦了

很好！！！！！！！

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