利用反函数与原函数的关系简洁解高考试题

考点聚焦
作为函数的内容之一的反函数是历年高考的命题的一个热点。解题时，正确地把握反函数与原函数的内在联系，可以帮助我们简洁迅速地完成问题的解答。
设原函数 的定义域为 ，其值域为 ，函数 的反函数记为： ，互为反函数的两个函数有如下性质：
性质1： 若 ， ，则 。反函数 的定义域为 ，其值域为 ；
性质2：互为反函数的两个函数在其定义域内，具有相同的单调性；
性质3：若函数 是奇函数（ ），且存在反函数，则 也是奇函数。
若函数 是偶函数（ ），则它一般不存在反函数；
性质4：反函数 的图象与原函数 的图象，关于直线 对称；
试题展示
例1．（05年湖南卷14）设函数 的图象关于点 对称，且存在反函数 ，
，则 =    。
分析与解答：求 ，即当函数值为4时， =4，求对应的自变量 的值。
由 知：点 在函数 的图象上，点 关于点 对称的坐标是 ，所以根据性质1知： =
例2．（05年天津卷9）设 是函数 ， 的反函数，则使 成立的 的取值范围为（    ）
A， ；B，（  ）；C，（ ， ）；D，[ ， ）；
分析与解答：因为 ，所以函数 是增函数，根据性质2知反函数
也是增函数。
由 ，根据性质1知：当原函数在 时，求 的取值范围即可。
，选A。
评注：直接利用互为反函数的两个函数的性质，可以省略求反函数的步骤，大大简化计算过程。
例3．（1992年全国卷）函数 的反函数（      ）
A，是奇函数，它在 上是减函数；
B，是偶函数，它在 上是减函数；
C，是奇函数，它在 上是增函数；
D，是偶函数，它在 上是增函数；
分析与解答：因为互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性，故只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。

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